Das Tutorial erklärt das Wesen der Standardabweichung und des Standardfehlers des Mittelwerts sowie die Formel, die am besten für die Berechnung der Standardabweichung in Excel verwendet werden sollte.

In der deskriptiven Statistik sind das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt genannt) und die Standardabweichung zwei eng miteinander verbundene Konzepte. Während das erste von den meisten gut verstanden wird, ist das zweite nur wenigen bekannt. In diesem Lernprogramm soll erläutert werden, was die Standardabweichung eigentlich ist und wie man sie in Excel berechnet.

Was ist die Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist ein Maß, das angibt, wie stark die Werte des Datensatzes vom Mittelwert abweichen (streuen). Anders ausgedrückt, die Standardabweichung zeigt, ob Ihre Daten nahe am Mittelwert liegen oder stark schwanken.

Der Zweck der Standardabweichung ist es, Ihnen dabei zu helfen, zu verstehen, ob der Mittelwert wirklich "typische" Daten liefert. Je näher die Standardabweichung bei Null liegt, desto geringer ist die Variabilität der Daten und desto zuverlässiger ist der Mittelwert. Die Standardabweichung gleich 0 bedeutet, dass jeder Wert im Datensatz genau dem Mittelwert entspricht. Je höher die Standardabweichung, desto größer ist die Variation in denDaten und desto ungenauer ist der Mittelwert.

Um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, wie dies funktioniert, sehen Sie sich bitte die folgenden Daten an:

Für Biologie beträgt die Standardabweichung 5 (auf eine ganze Zahl gerundet), was bedeutet, dass die meisten Ergebnisse nicht mehr als 5 Punkte vom Mittelwert abweichen. Ist das gut? Nun, ja, es zeigt, dass die Biologieergebnisse der Schüler ziemlich einheitlich sind.

Für Mathematik beträgt die Standardabweichung 23, was zeigt, dass die Ergebnisse sehr stark streuen, d. h. dass einige Schülerinnen und Schüler viel besser und/oder einige viel schlechter als der Durchschnitt abgeschnitten haben.

In der Praxis wird die Standardabweichung von Wirtschaftsanalytikern häufig als Maß für das Anlagerisiko verwendet - je höher die Standardabweichung, desto höher die Volatilität der Erträge.

Stichprobenstandardabweichung vs. Populationsstandardabweichung

Im Zusammenhang mit der Standardabweichung hört man oft die Begriffe "Stichprobe" und "Grundgesamtheit", die sich auf die Vollständigkeit der Daten beziehen, mit denen man arbeitet. Der Hauptunterschied ist folgender:

• Bevölkerung enthält alle Elemente eines Datensatzes.
• Muster ist eine Teilmenge von Daten, die ein oder mehrere Elemente aus der Grundgesamtheit enthält.

Forscher und Analytiker arbeiten in verschiedenen Situationen mit der Standardabweichung einer Stichprobe und der Grundgesamtheit. Wenn beispielsweise ein Lehrer die Prüfungsergebnisse einer Klasse von Schülern zusammenfasst, wird er die Standardabweichung der Grundgesamtheit verwenden. Statistiker, die den nationalen SAT-Durchschnitt berechnen, würden die Standardabweichung der Stichprobe verwenden, da ihnen nur die Daten einer Stichprobe vorliegen, nicht aberaus der Gesamtbevölkerung.

Verstehen der Formel für die Standardabweichung

Der Grund, warum die Art der Daten von Bedeutung ist, liegt darin, dass die Standardabweichung der Grundgesamtheit und die Standardabweichung der Stichprobe mit leicht unterschiedlichen Formeln berechnet werden:

Standardabweichung der Stichprobe	Standardabweichung der Bevölkerung

Wo:

• x _i sind einzelne Werte in der Datenmenge
• x ist der Mittelwert aus allen x Werte
• n ist die Gesamtzahl der x Werte im Datensatz

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Formeln zu verstehen, hilft es vielleicht, sie in einfache Schritte aufzuteilen. Aber zunächst sollten wir mit einigen Beispieldaten arbeiten:

1. den Mittelwert (Durchschnitt) berechnen

Zunächst ermitteln Sie den Mittelwert aller Werte im Datensatz ( x Wenn Sie von Hand rechnen, addieren Sie die Zahlen und teilen dann die Summe durch die Anzahl dieser Zahlen, etwa so:

(1+2+4+5+6+8+9)/7=5

Um den Mittelwert in Excel zu ermitteln, verwenden Sie die Funktion MITTELWERT, z. B. = MITTELWERT(A2:G2)

2. für jede Zahl den Mittelwert subtrahieren und das Ergebnis quadrieren

Dies ist der Teil der Formel für die Standardabweichung, der besagt: ( x _i - x )2

Zur Veranschaulichung der tatsächlichen Vorgänge sehen Sie sich bitte die folgenden Bilder an.

In diesem Beispiel ist der Mittelwert 5, also wird die Differenz zwischen jedem Datenpunkt und 5 berechnet.

Dann quadriert man die Differenzen und wandelt sie in positive Zahlen um:

3. quadratische Differenzen addieren

In der Mathematik verwendet man für "zusammenzählen" das Sigma Σ. Jetzt addieren wir also die quadrierten Differenzen, um diesen Teil der Formel zu vervollständigen: Σ( x _i - x )2

16 + 9 + 1 + 1 + 9 + 16 = 52

4. die gesamten quadrierten Differenzen durch die Anzahl der Werte dividieren

Bislang waren die Formeln für die Standardabweichung der Stichprobe und die Standardabweichung der Grundgesamtheit identisch. Jetzt sind sie unterschiedlich.

Für die Probenstandardabweichung erhalten Sie die Stichprobenvarianz indem die gesamten quadrierten Differenzen durch den Stichprobenumfang minus 1 geteilt werden:

52 / (7-1) = 8.67

Für die Bevölkerungsstandardabweichung finden Sie die Mittelwert der quadrierten Differenzen indem die gesamten quadrierten Differenzen durch ihre Anzahl geteilt werden:

52 / 7 = 7.43

Warum dieser Unterschied in den Formeln? Weil Sie in der Formel für die Standardabweichung der Stichprobe die Verzerrung bei der Schätzung eines Stichprobenmittelwerts anstelle des wahren Mittelwerts der Grundgesamtheit korrigieren müssen. Und das tun Sie, indem Sie n - 1 anstelle von n was als Besselsche Korrektur bezeichnet wird.

5. die Quadratwurzel ziehen

Ziehen Sie schließlich die Quadratwurzel aus den obigen Zahlen, und Sie erhalten Ihre Standardabweichung (in den folgenden Gleichungen auf 2 Dezimalstellen gerundet):

In Microsoft Excel wird die Standardabweichung auf die gleiche Weise berechnet, aber alle oben genannten Berechnungen werden im Hintergrund durchgeführt. Das Wichtigste für Sie ist die Wahl einer geeigneten Standardabweichungsfunktion, über die der folgende Abschnitt einige Hinweise geben wird.

Wie man die Standardabweichung in Excel berechnet

Insgesamt gibt es sechs verschiedene Funktionen zur Ermittlung der Standardabweichung in Excel. Welche Sie verwenden, hängt in erster Linie von der Art der Daten ab, mit denen Sie arbeiten - ob es sich um die gesamte Grundgesamtheit oder eine Stichprobe handelt.

Funktionen zur Berechnung der Stichprobenstandardabweichung in Excel

Um die Standardabweichung auf der Grundlage einer Stichprobe zu berechnen, verwenden Sie eine der folgenden Formeln (alle basieren auf der oben beschriebenen "n-1"-Methode).

Excel-Funktion STDEV

STDEV(Zahl1,[Zahl2],...) ist die älteste Excel-Funktion zur Schätzung der Standardabweichung auf der Grundlage einer Stichprobe und ist in allen Versionen von Excel 2003 bis 2019 verfügbar.

In Excel 2007 und höher kann STDEV bis zu 255 Argumente akzeptieren, die durch Zahlen, Arrays, benannte Bereiche oder Verweise auf Zellen mit Zahlen dargestellt werden können. In Excel 2003 kann die Funktion nur bis zu 30 Argumente akzeptieren.

Logische Werte und Textdarstellungen von Zahlen, die direkt in der Liste der Argumente angegeben werden, werden gezählt. In Arrays und Referenzen werden nur Zahlen gezählt; leere Zellen, logische Werte von TRUE und FALSE, Text und Fehlerwerte werden ignoriert.

Hinweis: Excel STDEV ist eine veraltete Funktion, die in den neueren Versionen von Excel nur aus Gründen der Abwärtskompatibilität beibehalten wird. Microsoft macht jedoch keine Versprechungen bezüglich der zukünftigen Versionen. Daher wird in Excel 2010 und später empfohlen, STDEV.S anstelle von STDEV zu verwenden.

Excel-Funktion STDEV.S

STDEV.S(Zahl1,[Zahl2],...) ist eine verbesserte Version von STDEV, die in Excel 2010 eingeführt wurde.

Wie STDEV berechnet die Funktion STDEV.S die Stichprobenstandardabweichung einer Reihe von Werten auf der Grundlage der im vorigen Abschnitt erörterten klassischen Formel für die Stichprobenstandardabweichung.

Excel-Funktion STDEVA

STDEVA(Wert1, [Wert2], ...) ist eine weitere Funktion zur Berechnung der Standardabweichung einer Stichprobe in Excel, die sich von den beiden vorgenannten nur in der Art und Weise unterscheidet, wie sie logische und Textwerte behandelt:

• Alle logische Werte werden gezählt, unabhängig davon, ob sie in Arrays oder Referenzen enthalten sind oder direkt in die Liste der Argumente eingegeben werden (TRUE wird als 1 ausgewertet, FALSE als 0).
• Text-Werte innerhalb von Arrays oder Referenzargumenten werden als 0 gezählt, einschließlich leerer Zeichenketten (""), Textdarstellungen von Zahlen und sonstigem Text. Textdarstellungen von Zahlen, die direkt in der Liste der Argumente angegeben werden, werden als die Zahlen gezählt, die sie darstellen (hier ein Beispiel für eine Formel).
• Leere Zellen werden ignoriert.

Hinweis: Damit eine Formel für die Standardabweichung einer Stichprobe korrekt funktioniert, müssen die übergebenen Argumente mindestens zwei numerische Werte enthalten, andernfalls wird der Fehler #DIV/0! zurückgegeben.

Funktionen zur Berechnung der Standardabweichung der Grundgesamtheit in Excel

Wenn Sie mit der gesamten Grundgesamtheit arbeiten, verwenden Sie eine der folgenden Funktionen, um die Standardabweichung in Excel zu berechnen. Diese Funktionen basieren auf der "n"-Methode.

Excel-Funktion STDEVP

STDEVP(number1,[number2],...) ist die alte Excel-Funktion zur Ermittlung der Standardabweichung einer Grundgesamtheit.

In den neuen Versionen von Excel 2010, 2013, 2016 und 2019 wird sie durch die verbesserte Funktion STDEV.P ersetzt, bleibt aber aus Gründen der Abwärtskompatibilität erhalten.

Excel-Funktion STDEV.P

STDEV.P(Zahl1,[Zahl2],...) ist die moderne Version der STDEVP-Funktion, die eine verbesserte Genauigkeit bietet und in Excel 2010 und späteren Versionen verfügbar ist.

Wie ihre Pendants zur Stichprobenstandardabweichung zählen die Funktionen STDEVP und STDEV.P innerhalb von Arrays oder Referenzargumenten nur Zahlen. In der Liste der Argumente zählen sie auch logische Werte und Textdarstellungen von Zahlen.

Excel-Funktion STDEVPA

STDEVPA(wert1, [wert2], ...) berechnet die Standardabweichung einer Grundgesamtheit, einschließlich Text- und logischer Werte. Bei nicht-numerischen Werten arbeitet STDEVPA genau wie die Funktion STDEVA.

Hinweis: Unabhängig davon, welche Excel-Standardabweichungsformel Sie verwenden, wird ein Fehler zurückgegeben, wenn ein oder mehrere Argumente einen von einer anderen Funktion zurückgegebenen Fehlerwert oder Text enthalten, der nicht als Zahl interpretiert werden kann.

Welche Excel-Standardabweichungsfunktion ist zu verwenden?

Eine Vielzahl von Standardabweichungsfunktionen in Excel kann durchaus für Verwirrung sorgen, vor allem bei unerfahrenen Benutzern. Um die richtige Standardabweichungsformel für eine bestimmte Aufgabe auszuwählen, beantworten Sie einfach die folgenden 3 Fragen:

• Berechnen Sie die Standardabweichung einer Stichprobe oder einer Grundgesamtheit?
• Welche Excel-Version verwenden Sie?
• Enthält Ihr Datensatz nur Zahlen oder auch logische Werte und Text?

Zur Berechnung der Standardabweichung auf der Grundlage einer numerischen Muster Verwenden Sie die Funktion STDEV.S in Excel 2010 und höher; STDEV in Excel 2007 und früher.

Um die Standardabweichung einer Bevölkerung Verwenden Sie die Funktion STDEV.P in Excel 2010 und höher; STDEVP in Excel 2007 und früher.

Wenn Sie wollen logisch oder Text Werte in die Berechnung einzubeziehen, verwenden Sie entweder STDEVA (Standardabweichung der Stichprobe) oder STDEVPA (Standardabweichung der Grundgesamtheit). Ich kann mir zwar kein Szenario vorstellen, in dem eine der beiden Funktionen für sich genommen nützlich wäre, aber sie können in größeren Formeln nützlich sein, in denen ein oder mehrere Argumente von anderen Funktionen als logische Werte oder Textdarstellungen von Zahlen zurückgegeben werden.

Um Ihnen die Entscheidung zu erleichtern, welche der Excel-Standardabweichungsfunktionen für Ihre Bedürfnisse am besten geeignet ist, sehen Sie sich bitte die folgende Tabelle an, in der die bereits gelernten Informationen zusammengefasst sind.

Excel Standardabweichungsformel Beispiele

Sobald Sie die Funktion ausgewählt haben, die Ihrem Datentyp entspricht, sollte es keine Schwierigkeiten beim Schreiben der Formel geben - die Syntax ist so einfach und transparent, dass sie keinen Raum für Fehler lässt :) Die folgenden Beispiele zeigen einige Excel-Formeln zur Standardabweichung in Aktion.

Berechnung der Standardabweichung einer Stichprobe und einer Grundgesamtheit

Verwenden Sie je nach Art Ihrer Daten eine der folgenden Formeln:

• Zur Berechnung der Standardabweichung auf der Grundlage der gesamten Bevölkerung d.h. die vollständige Liste der Werte (B2:B50 in diesem Beispiel), verwenden Sie die Funktion STDEV.P:

  =STDEV.P(B2:B50)

• Um die Standardabweichung auf der Grundlage einer Muster die einen Teil oder eine Teilmenge der Grundgesamtheit darstellt (in diesem Beispiel B2:B10), verwenden Sie die Funktion STDEV.S:

  =STDEV.S(B2:B10)

  Siehe auch: Excel XLOOKUP-Funktion mit Formelbeispielen

Wie Sie auf dem Screenshot unten sehen können, ergeben die Formeln leicht unterschiedliche Zahlen (je kleiner die Stichprobe, desto größer der Unterschied):

In Excel 2007 und niedrigeren Versionen verwenden Sie stattdessen die Funktionen STDEVP und STDEV:

• Um die Standardabweichung der Bevölkerung zu erhalten:

  =STDEVP(B2:B50)

• Zur Berechnung der Standardabweichung der Stichprobe:

  =STDEV(B2:B10)

Berechnung der Standardabweichung für Textdarstellungen von Zahlen

Bei der Erörterung der verschiedenen Funktionen zur Berechnung der Standardabweichung in Excel haben wir manchmal von "Textdarstellungen von Zahlen" gesprochen, und Sie werden sich vielleicht fragen, was das eigentlich bedeutet.

In diesem Zusammenhang sind "Textdarstellungen von Zahlen" einfach Zahlen, die als Text formatiert sind. Wie können solche Zahlen in Ihren Arbeitsblättern erscheinen? Meistens werden sie aus externen Quellen exportiert oder von so genannten Textfunktionen zurückgegeben, die für die Bearbeitung von Textzeichenfolgen konzipiert sind, z. B. TEXT, MID, RIGHT, LEFT usw. Einige dieser Funktionen können auch mit Zahlen arbeiten, aber ihre Ausgabe ist immer Text, auchwenn sie einer Zahl sehr ähnlich sieht.

Zur besseren Veranschaulichung betrachten Sie bitte das folgende Beispiel: Angenommen, Sie haben eine Spalte mit Produktcodes wie "Jeans-105", wobei die Ziffern nach einem Bindestrich die Menge bezeichnen. Ihr Ziel ist es, die Menge jedes Artikels zu extrahieren und dann die Standardabweichung der extrahierten Zahlen zu ermitteln.

Es ist kein Problem, die Menge in eine andere Spalte zu ziehen:

=RIGHT(A2,LEN(A2)-SEARCH("-",A2,1))

Das Problem ist, dass die Anwendung einer Excel-Standardabweichungsformel auf die extrahierten Zahlen entweder #DIV/0! oder 0 ergibt, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Warum diese seltsamen Ergebnisse? Wie bereits erwähnt, ist die Ausgabe der Funktion RECHTS immer ein Text-String. Aber weder STDEV.S noch STDEVA können mit Zahlen umgehen, die als Text in Referenzen formatiert sind (ersteres ignoriert sie einfach, während letzteres als Nullen zählt). Um die Standardabweichung solcher "Text-Zahlen" zu erhalten, müssen Sie sie direkt in die Liste der Argumente einfügen, was durch das Einbetten allerRIGHT-Funktionen in Ihre STDEV.S- oder STDEVA-Formel ein:

=STDEV.S(RIGHT(A2,LEN(A2)-SEARCH("-",A2,1)), RIGHT(A3,LEN(A3)-SEARCH("-",A3,1)), RIGHT(A4,LEN(A4)-SEARCH("-",A4,1)), RIGHT(A5,LEN(A5)-SEARCH("-",A5,1)))

=STDEVA(RIGHT(A2,LEN(A2)-SEARCH("-",A2,1)), RIGHT(A3,LEN(A3)-SEARCH("-",A3,1)), RIGHT(A4,LEN(A4)-SEARCH("-",A4,1)), RIGHT(A5,LEN(A5)-SEARCH("-",A5,1)))

Die Formeln sind zwar etwas umständlich, aber für eine kleine Stichprobe mag das eine funktionierende Lösung sein. Für eine größere Stichprobe, ganz zu schweigen von der gesamten Grundgesamtheit, ist das definitiv keine Option. In diesem Fall wäre eine elegantere Lösung, dass die VALUE-Funktion "Text-Zahlen" in Zahlen umwandelt, die jede Standardabweichungsformel verstehen kann (beachten Sie bitte die rechtsbündigen Zahlen im Screenshotunten im Gegensatz zu den linksbündigen Textstrings auf dem Screenshot oben):

Berechnung des Standardfehlers des Mittelwerts in Excel

In der Statistik gibt es ein weiteres Maß zur Schätzung der Variabilität von Daten - Standardfehler des Mittelwerts Die Standardabweichung und der Standardfehler des Mittelwerts sind zwei eng miteinander verbundene Begriffe, die jedoch nicht dasselbe sind.

Während die Standardabweichung die Abweichung eines Datensatzes vom Mittelwert misst, schätzt der Standardfehler des Mittelwerts (SEM), wie weit der Stichprobenmittelwert wahrscheinlich vom wahren Mittelwert der Grundgesamtheit abweicht. Anders ausgedrückt: Wenn Sie mehrere Stichproben aus derselben Grundgesamtheit nehmen, würde der Standardfehler des Mittelwerts die Streuung zwischen diesen Stichprobenmittelwerten anzeigen. Da wir normalerweise nur einenMittelwert für einen Datensatz, nicht mehrere Mittelwerte, der Standardfehler des Mittelwerts wird geschätzt und nicht gemessen.

In der Mathematik wird der Standardfehler des Mittelwerts mit dieser Formel berechnet:

Wo SD ist die Standardabweichung, und n ist der Stichprobenumfang (die Anzahl der Werte in der Stichprobe).

In Ihren Excel-Arbeitsblättern können Sie die Funktion COUNT verwenden, um die Anzahl der Werte in einer Stichprobe zu ermitteln, SQRT, um die Quadratwurzel aus dieser Zahl zu ziehen, und STDEV.S, um die Standardabweichung einer Stichprobe zu berechnen.

Setzt man all dies zusammen, erhält man die Formel für den Standardfehler des Mittelwerts in Excel:

Unter der Annahme, dass die Stichprobendaten in B2:B10 vorliegen, würde unsere SEM-Formel wie folgt lauten:

=STDEV.S(B2:B10)/SQRT(COUNT(B2:B10))

Und das Ergebnis könnte in etwa so aussehen:

Hinzufügen von Standardabweichungsbalken in Excel

Um eine Spanne der Standardabweichung visuell darzustellen, können Sie Ihrem Excel-Diagramm Balken für die Standardabweichung hinzufügen. So geht's:

1. Erstellen Sie ein Diagramm auf die übliche Weise ( einfügen. tab> Diagramme Gruppe).
2. Klicken Sie auf eine beliebige Stelle des Diagramms, um es auszuwählen, und klicken Sie dann auf die Schaltfläche Diagramm-Elemente Taste.
3. Klicken Sie auf den Pfeil neben Fehlerbalken und wählen Sie Standardabweichung .

Dadurch werden für alle Datenpunkte die gleichen Standardabweichungsbalken eingefügt.

So wird die Standardabweichung in Excel berechnet. Ich hoffe, dass diese Informationen für Sie hilfreich sind. Ich danke Ihnen jedenfalls für die Lektüre und hoffe, Sie nächste Woche in unserem Blog begrüßen zu dürfen.